प्रश्न- मध्यांक की परिभाषा दीजिये। इसके गुण-दोषों की विवेचना कीजिये।

अथवा
मध्यांक की गणना की प्रक्रिया स्पष्ट कीजिये।
सम्बन्धित लघु उत्तरीय प्रश्न
1. मध्यांक को परिभाषित कीजिये।
2. मध्यांक की विशेषतायें बताइये।
3. मध्यांक के गुण-दोष की व्याख्या करें।
4. मध्यांक को परिभाषित कीजिये एवं इसका उपयोग स्पष्ट कीजिए।

उत्तर -

मध्यांक
(Median)

इसे वह बिन्दु मानते हैं, जिसके ऊपर तथा नीचे किसी वितरण के 50-50% प्राप्तांक पाये जाते हैं।

गैरिट (Garrett, 1966) के अनुसार - "यदि प्राप्तांक मूल्यों के अनुसार व्यवस्थित है, तो उस श्रृंखला में मध्य बिन्दु मध्यांक कहा जाता है।'

(When scores are arranged in order of size, the median is the mid-point in the series.)

"दूसरी तरफ यदि किसी सतत् श्रृंखला में प्राप्तांक आवृत्ति वितरण में समूहीकृत हैं, तो वितरण का 50% बिन्दु मध्यांक कहा जाता है।"

(The scores is a cotinuous series are grouped into a frequency distribution, the median by definition is the 50% point in the distribution.)

मध्यांक की विशेषतायें (Characteristics of Median)

1. अंक वितरण का मध्यांक बिन्दु वह है जिसके ऊपर और नीचे अंक वितरण के आधे-आधे केसज स्थित होते है।
2. मध्यांक की मानक त्रुटि बहुलांक से कम लेकिन मध्यमान से अधिक होती है।
3. मध्यांक ऊपर तथा नीचे के प्राप्ताकों की संख्या पर निर्भर करता है।

मध्यांक से लाभ (Advantages of Median)

1. छोटे अंक वितरण का मध्यांक सरलता से ज्ञात कर सकते है।
2. जब अंक वितरण अपूर्ण और खुले छोर वाला हो तो मध्यांक की गणना करते हैं।
3. जब अंक वितरण विकृत हो तब भी मध्यांक की गणना करते है।

मध्यांक के दोष (Disadvantages of Median)

1. यह मध्यमान की अपेक्षा कम शुद्ध मान है।
2. केवल अपूर्ण और विकृत वितरण में ही इसकी गणना करते है।

मध्यांक के उपयोग (Uses of Median)

1. जब केन्द्रीय प्रवृत्ति का त्वरित मापन करना होता है।
2. जब वितरण के 50% बिन्दु को ज्ञात करना होता है।
3. यदि प्राप्तांकों में कुछ चरम माप है तब मध्यांक उपयोगी रहता है।
4. यदि प्राप्तांक वितरण विषम हो तो यह उपयोगी रहता है।
5. इसकी गणना ग्राफ द्वारा भी कर सकते हैं।

मध्यांक की गणना (Calculation of Median Mdn)

असमूहीकृत आंकड़ों से मध्यांक (Median From ungrouped data)

यदि आंकड़े अव्यवस्थित हो तो पहले उन्हें न्यूनतम से अधिकतम क्रम में व्यवस्थित करते हैं। यह दो अवस्थाओं में करना पड़ सकता है।

1. जब संख्यायें विषम (odd) हो तो उन्हें क्रम में करने पर जो अंक मध्य में पड़ता है तो इसे मध्यांक कहते है। जैसे - 2, 4, 10, 3, 5, 9, 7 को क्रम में - आरोही क्रम 2, 3, 4, 5, 7, 9 10 उपर्युक्त श्रृंखला में 5 मध्यांक है क्योंकि यह मध्य में है।

2. जब संख्यायें सम (even) हो तो संख्याओं के योग में एक जोड़कर दो से भाग दे देते हैं। यह अंक मध्यांक कहलाता है।

जैसे, 7, 6, 12, 18, 10, 8 को क्रम में व्यवस्थित करने पर

आरोही क्रम 6, 7, 8, 10, 12, 18

यहाँ प्राप्तांक सम है। इसलिए 3.5 अंक तीसरे तथा चौथे अंक का मध्य है।

               8+10
Mdn = ----------- = 9
                  2

मध्यांक = 9

समूहीकृत आंकड़ों से मध्यांक
(Median From Grouped Data) -

व्यवस्थित आंकड़ों पर मध्यांक की गणना निम्नवत करते हैं -

1. प्राप्त आवृत्तियों को संचयी आवृत्तियों में परिवर्तित कर देते हैं।
2. आवृत्तियों का 50% जिस वर्गान्तर के समाने पड़ता है, वह मध्यांक वर्गान्तर कहा जाता है।
3. मध्यांक वाले वर्गान्तर की निम्न सीमा ज्ञात करते हैं।
4. मध्यांक वाले वर्गान्तर के नीचे की सभी आवृत्तियों के योग को ज्ञात करते है।
5. वर्ग विस्तार ज्ञात करते हैं।
6. मूल्यों को सूत्र में रखकर मध्यांक ज्ञात करते हैं -

Mdn = मध्यांक

                     (N/2-fb)
Mdn = L + --------------- x i
                         fp
L = मध्यांक वर्गान्तर की निम्न सीमा,
fb = मध्यांक वर्गान्तर के नीचे की संचयी आवृत्तियां,
fp = मध्यांक वर्गान्तर की आवृत्ति,
i = वर्गान्तर आकार,

उदाहरण - एक क्लास में 50 छात्रायें थी। हिन्दी विषय पर उनके प्राप्तांक प्राप्त किये। मध्यांक की गणना करें।

मध्यांक की गणना

                          [25 - 21]
Mdn = 49.5 + ----------------- × 5
                               21

=49.5+ (4/21) x 5 = 49.5 + 0.19 × 5

=49.5+0.95 = 50.45

उत्तर : मध्यांक = 50.45

* यदि N/2 किसी वर्गान्तर के समक्ष प्रत्यक्ष पड़ता है। तो उस वर्गान्तर के मध्य बिन्दु को मध्यांक मान लेते हैं, तब इस सूत्र का प्रयोग करते हैं।

वितरण में रिक्तता होने पर मध्यांक की गणना 

जब वितरण के मध्य में शून्य हो। तब एक विशेष परिस्थिति मानते है। एक उदाहरण यहाँ दिया गया है -

वितरण के मध्य में शून्य होने पर मध्यांक की गणना

इस उदाहरण में N/2 = 27 है। मध्यांक वर्गान्तर की आवृत्ति शून्य है। इसके ऊपर तथा नीचे 50-50% आवृत्तियां है। इसे उभयनिष्ठ वर्गान्तर कहते हैं। इसके मध्य बिन्दु ही यहाँ मध्यांक होगा। इसकी गणना निम्न सूत्र द्वारा करते हैं -

              L + U
Mdn = -------------
                   2

L = मध्यांक वर्गान्तर की निम्न सीमा

U = मध्यांक वर्गान्तर की उच्च सीमा

              59.5 + 64.5        124
Mdn = ------------------ = ---------- = 62
                     2                   2

मध्यांक = 62

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